SGA3の1章1節1小節について

間違いがあるかも

ざっくりと全体像

簡単に言うと, 圏 $\mathscr{C}$ の上の前層 $\widehat{\mathscr{C}}$ と米田関手 $\mathbf{h}$ を定義して, 米田の補題から $\mathscr{C}$ は $\widehat{\mathscr{C}}$ の部分圏とみなせるってことを述べてます.

この部分圏としてのみなし方を米田埋め込みとか(グロタンディーク関手?これは間違いかも)とか呼んだりするらしいです.

よく $\mathbf{h}$ の逆バージョンを見るんですが, 最初の圏として反対圏をとるかどうかの違いだけなので実質同じものです.

宇宙については特に述べませんが, 一つ取っておいてその上で展開しています.

気になる人はちゃんと確かめてもいいかもしれませんがめんどくさいだけなので特に考えなくても大丈夫です.

$\mathscr{C}$ を圏とする. $\mathscr{C}^\circ$ を $\mathscr{C}$ の反対圏, すなわち射を全て逆向きにした圏とし, $\mathbf{Ens}$ を集合のなす圏とする.

$\mathscr{C}$ の上の前層の圏を, 関手のなす圏 $\mathbf{Hom}(\mathscr{C}^\circ,\mathbf{Ens})$ と定義.

また特にこれを $\widehat{\mathscr{C}}$ と表す.

$\mathbf{h}:\mathscr{C}\rightarrow \widehat{\mathscr{C}}$ を次の形の関手と定義:

$\mathbf{h}(X)(S)=\mathrm{Hom}_\mathscr{C}(S,X), X\in \mathscr{C}, S\in \mathscr{C}^\circ$

$\mathbf{h}(X)$ を $\mathbf{h}_X$ と略記する.

米田関手 $\mathbf{h}$ は忠実平坦関手であり, よって $\mathscr{C}$ を $\widehat{\mathscr{C}}$ の充満部分圏とみなせる.

この同一視によって, $X\in \mathscr{C}$ と $\mathbf{h}(X)$ を同一視する.

また実は, この同一視は充満部分圏に対して自然, すなわち $\mathscr{C}$ の充満部分圏 $\mathscr{D}$ に対し, 自然に $\mathscr{D}$ もまた $\widehat{\mathscr{C}}$ の充満部分圏とみなすことができる.