SGA3の1章1節3小節について

細かいことは証明しませんし間違っているところもあるかもしれません.

ざっくりと全体像
スライス圏の定義
スライス圏を複数取る操作について
sectionを取る関手との関係

ざっくりと全体像

簡単に言うと, スライス圏 (対象の上の圏) の話と, スライス圏を複数回取ってもそんなに形は変わりませんよって話と, sectionを取る関手の一般化の話です.

複数回取っても1回目以外形が変わらない (同型になる) ものって数学には結構ありますよね.

あと, このsectionを取る関手なんですが, 最初は対象を写像とみなす $\mathrm{Map}(\{ a\}, X)$ の圏論版なのかなと思ってたんですがどうなんでしょうか. もしかしたらsectionを取るとは終対象からの射を取っていることと同値なのかもしれませんが, そこらへんは考えたこと(考えるつもりも)が無いです.

スライス圏の定義

圏 $\mathscr{C}$ とその対象 $S$ に対し, $S$ の上の圏 $\mathscr{C}_{/S}$ を, 次で定義する圏と定義する:

$\mathscr{C}$ の対象 $T$ から $S$ への射 $f:T\rightarrow S$ の集まりを対象とし, $f':T'\rightarrow S,~f:T\rightarrow S$ の間の射 $\phi: f'\rightarrow f$ を, $T'\rightarrow T$ で, $f\circ \phi=f'$ を満たす射とする.

スライス圏を複数取る操作について

$S$ の上の圏とその対象 $f:T\rightarrow S$ を考えると, さらにその上の圏 $(\mathscr{C}_{/S})_{/f}$ も考えることができる.

実はこれは $f$ ではなく始域 $T$ にしかよらない, 実際には $(\mathscr{C}_{/S})_{/f}$ と $\mathscr{C}_{/T}$ が同一視できる.

またこれから分かるが, 二つの射 $f: T\rightarrow S,~g:T\rightarrow S$ によって作られる二つの圏 $(\mathscr{C}_{/S})_{/f},~(\mathscr{C}_{/S})_{/g}$ もまた同一視できる.

これによって $(\mathscr{C}_{/S})_{/f}$ を $(\mathscr{C}_{/S})_{/T}$ と表している.

sectionを取る関手と $\Gamma:\mathbf{F}\mapsto \mathrm{Hom}(\underline{e},\mathbf{F})$ の関係

ある圏の前層, すなわちある圏から集合への反変関手のなす圏 $\widehat{\mathscr{C}}:=\mathbf{Hom}(\mathscr{C}^{op},\mathbf{Ens})$ と, その対象 $\underline{e},~\mathbf{F}$ を取る.

ここで $\underline{e}$ は対象を1点集合 $\{ \emptyset\}$ に送る関手であり, これは $\mathscr{C}$ における終対象となっている.

2節で定義した関手 $\Gamma:\mathbf{F}\mapsto \mathrm{Hom}(\underline{e},\mathbf{F})$ を考えると, $f$ と前層における対応する対象 $\mathbf{h}_f$ に対し, $\Gamma(\mathbf{h}_f)$ は $f,~\mathbf{h}_f$ それぞれのsectionを取る関手 ( $f$ としてのsectionと $\mathbf{h}_f$ としてのsectionは一致する) であるとみなせる.