SGA3の1章1節1小節について

間違いがあるかも

ざっくりと全体像

簡単に言うと, 圏 \mathscr{C} の上の前層 \widehat{\mathscr{C}} と米田関手 \mathbf{h} を定義して, 米田の補題から \mathscr{C} は \widehat{\mathscr{C}} の部分圏とみなせるってことを述べてます.

 

この部分圏としてのみなし方を米田埋め込みとか(グロタンディーク関手?これは間違いかも)とか呼んだりするらしいです.

 

よく \mathbf{h} の逆バージョンを見るんですが, 最初の圏として反対圏をとるかどうかの違いだけなので実質同じものです.

 

宇宙については特に述べませんが, 一つ取っておいてその上で展開しています.

気になる人はちゃんと確かめてもいいかもしれませんがめんどくさいだけなので特に考えなくても大丈夫です.

 

 

圏の上の前層の定義

\mathscr{C} を圏とする. \mathscr{C}^\circ を \mathscr{C}の反対圏, すなわち射を全て逆向きにした圏とし, \mathbf{Ens}を集合のなす圏とする.

 

\mathscr{C} の上の前層の圏を, 関手のなす圏 \mathbf{Hom}(\mathscr{C}^\circ,\mathbf{Ens}) と定義.

また特にこれを \widehat{\mathscr{C}}と表す.

米田関手の定義

\mathbf{h}:\mathscr{C}\rightarrow \widehat{\mathscr{C}} を次の形の関手と定義:

\mathbf{h}(X)(S)=\mathrm{Hom}_\mathscr{C}(S,X), X\in \mathscr{C}, S\in \mathscr{C}^\circ

\mathbf{h}(X) を \mathbf{h}_X と略記する.

 

性質と記法

米田関手 \mathbf{h} は忠実平坦関手であり, よって \mathscr{C} を \widehat{\mathscr{C}} の充満部分圏とみなせる.

 

この同一視によって, X\in \mathscr{C} と \mathbf{h}(X) を同一視する.

 

また実は, この同一視は充満部分圏に対して自然, すなわち \mathscr{C} の充満部分圏 \mathscr{D} に対し, 自然に \mathscr{D} もまた \widehat{\mathscr{C}} の充満部分圏とみなすことができる.

SGA3の1章1節3小節について

SGA SGA3 SGA3-1 数学

細かいことは証明しませんし間違っているところもあるかもしれません.

ざっくりと全体像

簡単に言うと, スライス圏 (対象の上の圏) の話と, スライス圏を複数回取ってもそんなに形は変わりませんよって話と, sectionを取る関手の一般化の話です.

複数回取っても1回目以外形が変わらない (同型になる) ものって数学には結構ありますよね.

あと, このsectionを取る関手なんですが, 最初は対象を写像とみなす \mathrm{Map}(\{ a\}, X) の圏論版なのかなと思ってたんですがどうなんでしょうか. もしかしたらsectionを取るとは終対象からの射を取っていることと同値なのかもしれませんが, そこらへんは考えたこと(考えるつもりも)が無いです.

 

 

スライス圏の定義

圏 \mathscr{C} とその対象 S に対し, S の上の圏 \mathscr{C}_{/S} を, 次で定義する圏と定義する:

\mathscr{C} の対象 T から S への射 f:T\rightarrow S の集まりを対象とし, f':T'\rightarrow S,~f:T\rightarrow S の間の射 \phi: f'\rightarrow f を, T'\rightarrow T で, f\circ \phi=f' を満たす射とする.

 

スライス圏を複数取る操作について

S の上の圏とその対象 f:T\rightarrow S を考えると, さらにその上の圏 (\mathscr{C}_{/S})_{/f} も考えることができる.

 

実はこれは f ではなく始域 Tにしかよらない, 実際には (\mathscr{C}_{/S})_{/f}と \mathscr{C}_{/T}が同一視できる.

 

またこれから分かるが, 二つの射 f: T\rightarrow S,~g:T\rightarrow S によって作られる二つの圏 (\mathscr{C}_{/S})_{/f},~(\mathscr{C}_{/S})_{/g} もまた同一視できる.

 

これによって (\mathscr{C}_{/S})_{/f}を (\mathscr{C}_{/S})_{/T} と表している.

 

sectionを取る関手と \Gamma:\mathbf{F}\mapsto \mathrm{Hom}(\underline{e},\mathbf{F}) の関係

ある圏の前層, すなわちある圏から集合への反変関手のなす圏 \widehat{\mathscr{C}}:=\mathbf{Hom}(\mathscr{C}^{op},\mathbf{Ens}) と, その対象 \underline{e},~\mathbf{F} を取る.

ここで \underline{e} は対象を1点集合 \{ \emptyset\} に送る関手であり, これは \mathscr{C} における終対象となっている.

 

2節で定義した関手 \Gamma:\mathbf{F}\mapsto \mathrm{Hom}(\underline{e},\mathbf{F}) を考えると, f と前層における対応する対象 \mathbf{h}_f に対し, \Gamma(\mathbf{h}_f) は f,~\mathbf{h}_f それぞれのsectionを取る関手 ( f としてのsectionと \mathbf{h}_f としてのsectionは一致する) であるとみなせる.